El
cuadrado sobre la diagonal de un cuadrado
Problema: Dado un cuadrado, encontrar el área del cuadrado sobre
la diagonal.
Incluso niños en los primeros grados pueden encontrar la
relación entre el área de un cuadrado y el área
del cuadrado sobre la diagonal usando modelos concretos de
triángulos rectángulos isósceles (tales como los
de los tangramas) y acomodándolos de diferentes maneras (Flores
1995). Los alumnos también pueden usar el ejemplo con las
bisagras para ver la relación entre las áreas. En la
figura interactiva 1, después de rotar los triángulos la
nueva figura se ve como un cuadrado.
Más allá de la percepción. Los alumnos pueden ver
que los dos triángulos que rotan junto con los que permanecen
fijos forman un cuadrado. Para ayudar a los alumnos a desarrollar su
pensamiento geométrico, podemos ayudarlos a justificar que la
figura así formada es realmente un cuadrado. Por ejemplo,
¿por qué los nuevos ángulos formados son de 90˚?
Las justificaciones de los alumnos pueden consistir de argumentos como
los que siguen. La figura original consiste de dos cuadrados de igual
tamaño, cada uno formado por dos triángulos
rectángulos. Los triángulos tienen catetos iguales y los
ángulos en sus bases miden 45˚,
ya que son la mitad del ángulo en la esquina de un cuadrado. Al
combinar dos de tales ángulos de diferentes triángulos
juntos forman un ángulo de 90˚.
Alumnos más avanzados pueden encontrar la longitud de la
diagonal. Los alumnos que conocen el área de un cuadrado en
términos de su lados, A = a2,
pueden razonar de manera inversa para encontrar la longitud del lado
dada el área. Si el cuadrado original tiene un área
de una unidad, el cuadrado sobre la diagonal tiene un área de 2.
¿Qué número multiplicado por sí mismo da 2?
El maestro puede guiar a sus alumnos para que tengan un sentido de la
magnitud del lado. Los alumnos saben que 1 × 1 = 1, y 2 × 2
= 4, así que un número que multiplicado por sí
mismo da 2 debe estar entre 1 y 2. Los alumnos pueden usar una
calculadora y probar otros valores. Por ejemplo,
1.5 × 1.5 = 2.25, así que sabrán que la respuesta
es ligeramente menor que 1.5. Pueden probar 1.4 y otras aproximaciones
sucesivas. Desde luego, algunos alumnos se darán cuenta que
pueden utilizar la tecla √ para encontrar más
rápido una mejor aproximación.
Referencia
Flores, Alfinio (1995). Bilingual lessons in early-grades
geometry. Teaching Children
Mathematics, 1(7), 420
- 424.
