Geometría con bisagras
Alfinio Flores Peñafiel
University of Delaware
Introducción
Todos los ejemplos en este artículo tienen en común que
figuras geométricas o partes de ellas rotan alrededor de
bisagras. La bisagra, o centro de rotación está en uno de
los vértices de la pieza rotada. Las figuras pueden ser
planteadas como problemas para encontrar o como problemas para
demostrar. Pueden ser resueltos rotando partes de las figuras alrededor
de figuras para mostrar equivalencias de áreas. El uso de
bisagras da una comprensión de por qué las áreas
son iguales y da una sensación kinestética y
dinámica de la situación. Steinhaus,
en la primera página de Mathematical
Snapshots ilustra el modelo mecánico de
Dudeney para transformar un triángulo equilátero en un cuadrado.
Aquí usamos figuras con bisagras hechas con un programa
dinámico de geometría. Alentamos al lector a interactuar
con las figuras antes de seguir leyendo.
La igualdad de áreas puede ser demostrada más formalmente
usando argumentos de rotación. Los alumnos necesitan saber
qué propiedades y relaciones son preservadas al rotar una
figura, tales como distancia entre puntos y ángulos entre
líneas rectas. Las igualdades se pueden demostrar también
usando argumentos estáticos de congruencia. Las demostraciones
correspondientes varían en términos de dificultad de
bastante fáciles a relativamente difíciles, y el
conocimiento geométrico que se necesita varía de
geometría elemental hasta geometría de nivel medio
superior. Las secciones de este artículo están tituladas
para indicar el nivel de dificultad de la demostración
tradicional. Para los lectores que quieran explorar ideas más a
fondo, se proporcionan enlaces activos para discusiones adicionales.
Sin embargo, el enfoque visual de las bisagras es igualmente accesible
para todos los problemas. Los alumnos pueden beneficiarse de
interactuar con las figuras con bisagras aún cuando no tengan
todo el conocimiento necesario para las demostraciones tradicionales.
El uso de bisagras para mostrar equivalencia de áreas es un caso
especial de mostrar áreas iguales por disección. El
lector puede encontrar más ejemplos de transformaciones con
bisagras o por disección en las referencias.
Nivel Básico
Figura 1. Empezamos
con dos cuadrados, cada uno formado por dos triángulos. Un
triángulo de cada cuadrado rota para formar un cuadrado
más grande. Los alumnos pueden comparar el área del
cuadrado sobre la diagonal de un cuadrado dado con el área del
cuadrado original. Haz clic para más discusión del cuadrado
sobre la diagonal.
Figura 2.
Dos partes de un triángulo rotan alrededor de bisagras en los
puntos medios de dos lados para formar un rectángulo. Los
alumnos pueden relacionar el área de un triángulo con el
área de un rectángulo con la misma base y la mitad de la
altura. Haz clic para más discusión del triángulo y rectángulo.
Figura 5.
Una parte de un trapecio rota alrededor de una bisagra en el punto
medio de uno de sus lados para formar un paralelogramo con la misma
altura. Los alumnos pueden relacionar la base del paralelogramo con el
promedio de las bases del trapecio. Haz clic para más discusión de
trapecio y paralelogramo.
Figura 6. Una parte de un trapecio se rota alrededor de una bisabra
en el punto medio de uno de sus lados para formar un paralelogrmo con
la mitad de la altura y cuya base es la suma de las bases del trapecio.
Haz clic para más discusión
de trapecio y paralelogramo con la mitad de la altura.
Nivel
intermedio
Figura 7. En un cuadrado el punto medio de cada lado se uno con uno
de los vértices del lado opuesto para formar dos pares de
segmentos paralelos como se muestra. Se forma un pequeño
cuadrado en el centro. El problema es encontrar el área del
cuadrado pequeño en relación con el cuadrado original.
Figura 7. Se forma un pequeño
cuadrado enmedio.
En la figura 7,
cuatro triángulos amarillos forman parte del cuadrado. Cuando se
rotan 180˚ alrededor de las bisagras rojas forman parte de una
cruz griega. Haz clic para más discusión del cuadrado y la cruz.
Figura 9.
Se construyen los tres cuadrados sobre los lados de un
triángulo. Al unir vértices de cuadrados adyadentes se
forman otros tres triángulos. Compara el área de cada uno
de estos triángulos con el área del triángulo
original. En la figura 9 rota
los triángulos 90˚. ¿Qué puedes decir de la base
del triángulo púrpura y su altura comparadas con la base
y la altura del triángulo original? Haz clic para más discusión de las
áreas de los triángulos.
Figura 9. Cuatro triángulos.
Figura 10. Teorema
de Pitágoras. Existen muchas demostraciones de este teorema. En
ésta, dos triángulos amarillos que forman parte del
cuadrado de la hipotenusa giran para formar los cuadrados sobre los
catetos. Haz clic para más discusión de esta demostración.
Figura 10a. El cuadrado de la hipotenusa.
Figura 10b. Los dos
cuadrados de los catetos.
Problemas más desafiantes
Figura 14.
Un triángulo equilátero está formado por cuataro
piezas, cada una con un ángulo recto. Las piezas se rotan
alrededor de bisagras para formar un cuadrado. Nota que algunas de las
bisagras rotan junto con las piezas que se mueven.
¿Cuánto rota el cuadrilátero rojo?
¿Cuánto rota el cuadrilátero azul con respecto al
rojo? ¿Cuánto rota la pieza roja on respecto a su
posición original? Haz clic para más discusión de cómo cortar un
triángulo equilátero para formar un cuadrado.
Figura 15. Los lados de un triángulo se dividen en tres
partes iguales. En cada lado el punto que marca el primer tercio se une
con el vértice opuesto (ver figura 15). Un pequeño
triángulo se forma en el centro. En la figura 15 se han trazado
segmentos adicionales paralelos que conectan puntos medios con puntos
que marcan el segundo tercio de un lado adyacente. Los tres
triángulos amarillos forman parte del triángulo original.
Rota los triángulos 180˚ para formar tres paralelogramos uno en
cada lado del triángulo azul. Compara el área de cada uno
de estos paralelogramos con el triángulo azul. Haz clic para sugerencias de una
demostración.
Figura 15. Un pequeño
triángulo se forma en el centro.
Referencias
Cundy, H. M. y Rollett, A. P. Mathematical
models. Segunda edición.
Oxford: Oxford University Press, 1972.
Dudeney, Henry E. The Canterbury
puzzles and other curious problems. Londres: Thomas Nelson and
Sons, 1932.
Frederickson, Greg N. Dissections:
Plane and fancy. Cambridge:
Cambridge University Press, 1997.
Frederickson, Greg N. Hinged
dissections: Swinging and twisting.
Cambridge: Cambridge University Press, 2002.
Nelsen, Roger B. Proofs without
words: Exercises in visual thinking. Washington, DC:
Mathematical Association of America, 1993.
Nelsen, Roger B. Proofs without
words II: More exercises in visual thinking. Washington,
DC: Mathematical Association of America, 2000.
Steinhaus, Hugo. Mathematical
snapshots. Tercera edición. Oxford: Oxford
University Press, 1983.
Wells, David. Hidden connections,
double meanings. Cambridge: Cambridge
University Press, 1988.
Wells, David. The Penguin dictionary
of curious and interesting
geometry. London, Penguin Books, 1991.
