Conversión
de un triángulo en un cuadrado (Dudeney)
Sea 1 la longitude de la base del triángulo equilátero.
Sean F y D los puntos medios de dos lados. en esta disección del
triángulo se localiza un punto en la base del triángulo a
una distancia p de
A y la longitud del segmento BG se hace igual a ½. Se traza el
segmento BD y se construyen los segmentos FE y GC perpendiculares a BD.
Con esta construcción, para cualquier valor de p a lo largo de la base, las piezas
del triángulo se pueden reacomodar para formar un
rectángulo. El diagrama de Steinhaus usa
p = ¼, lo que da un
rectángulo que es una muy buena aproximación a un
cuadrado. El valor de
p que da un cuadrado perfecto
es
el cual es aproximadamente 0.2545.... Este valor se puede obtener a
partir de las siguientes consideraciones. La ecuación de la
línea que pasa por B(p,
0) y D(3/4, √3/4) está dada por
Recuerda que si ax + by + c = 0 es la ecuación de una
recta, la distancia del punto (x0,
y0) a la recta
está dada por
Sustituyendo los coeficientes de la ecuación de arriba en esta
fórmula y simplificando algebraicamente, puedes ver que la
distancia de F a la línea que pasa por BD está dada por
Verifica que la distancia de F a la línea BD es la misma que la
distancia de G a la línea BD para cualquier valor de p. Por tant los triángulos
BEF y DCG son congruentes ya que BF es también congruente con
GD. Por tanto BE es congruente con CD. También, ED + CD = BD =
CB +EB. Con esta información podemos ver que para cualquier
valor de p,
el triángulo se puede transformar en un recángulo. La
forma del recángulo depende del valor particular de p. Para calcular el valor de p que da un cuadrado necesitamos
una consideración adicional.
El área del cuadrado buscado es la misma que el área del
triángulo equilátero,
Por tanto, el lado del cuadrado es
Esta longitud es dos veces la distancia de F a BD, así que
tenemos la ecuación
Esta es equivalente a la ecuación
Resolviendo la ecuación para p,
obtenemos el valor dado más arriba. Usa este valor de p
y verifica que la distancia entre B y D es efectivamente la misma que
la longitud ncesaria para el lado del cuadrado.
Dudeney, en su libro The Canterbury
puzzles (p. 178) indica cómo encontrar el punto p usando regla y compás.
